กระทู้ร้อนแรงที่สุดของวันนี้
ก่อนที่จะแสดงว่า 1+1=2 ด้วยวิธีการทางคณิตศาสตร์ เราต้องทำความเข้าใจกับสิ่งที่จะกล่าวต่อไปนี้ก่อนนะ
ในการศึกษาทางคณิตศาสตร์ จะพบว่ามีข้อความที่เป็นจริงและถือว่าเป็นข้อตกลงพื้นฐานอยู่มากมาย ซึ่งข้อความเหล่านี้เรียกว่า สัจพจน์ (axioms or postulates) ซึ่งเราจะพิจารณาสัจพจน์ที่สำคัญสัจพจน์หนึ่ง คือ สัจพจน์ของเปอาโน (Peano’s axioms) สัจพจน์ดังกล่าวมีความสำคัญอย่างมากในทางคณิตศาสตร์ เพราะโครงสร้างของระบบจำนวนนับ ซึ่งถือว่าเป็นโครงสร้างรากฐานของระบบจำนวนอื่นๆ ถูกสร้างขึ้นมาจากสัจพจน์ของเปอาโนนี้เอง โดยมีเนื้อหาดังต่อไปนี้
(Peano’s axioms)
ให้ N คือเซตของจำนวนนับ จะได้ว่า N สอดคล้องกับสัจพจน์ต่อไปนี้
P1: 1 เป็นสมาชิกของ N
P2: สำหรับทุกๆ x ที่เป็นสมาชิกของ N จะได้ว่ามี x' ซึ่งเป็นสมาชิกของ N เช่นกัน (x' ดังกล่าวเรียกว่า ตัวตาม (successor) ของ x)
P3: ไม่มี x ใดๆ ที่เป็นสมาชิกของ N ซึ่งมีคุณสมบัติว่า x'=1
P4: ให้ x,y เป็นสมาชิกใดๆของ N จะได้ว่า x'=y' ก็ต่อเมื่อ x=y
P5: ให้ S เป็นสับเซตของ N ถ้าเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง
1) 1 เป็นสมาชิกของ S และ
2) ถ้า x เป็นสมาชิกของ S แล้ว x' เป็นสมาชิกของ S ด้วย
แล้วจะได้ว่า S=N
ต่อไปนี้จะขอขยายความสัจพจน์ดังกล่าว
สัจพจน์ข้อที่ 1 รับประกันว่า เซตของจำนวนนับไม่ใช่เซตว่าง นั่นคือ อย่างน้อยก็มีสมาชิกอยู่หนึ่งตัวแล้ว โดยที่สมาชิกดังกล่าว แทนด้วยสัญลักษณ์ 1
สัจพจน์ข้อที่ 2 กล่าวว่า จำนวนนับทุกตัวจะมีตัวตาม (successor) ของมัน ซึ่งก็เป็นจำนวนนับเช่นกัน
สัจพจน์ข้อที่ 3 กล่าวว่า 1 ไม่เป็นตัวตามของจำนวนนับใดๆ
สัจพจน์ข้อที่ 4 กล่าวว่า จำนวนนับที่ต่างกัน ย่อมมีตัวตามที่ต่างกัน
สัจพจน์ข้อที่ 5 รู้จักกันดีในนามของ หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (The principle of mathematical induction)
ต่อไปเราจะนิยามการดำเนินการบนเซต ที่เรียกว่าการดำเนินการบวก ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ + โดยอาศัยสัจพจน์ของเปอาโน ดังนี้
Definition I
ให้ a,b เป็นจำนวนนับใดๆ
ถ้า b=1 แล้วจะนิยาม a+b=a' (ใช้ P1,P2)
ถ้า b ไม่ใช่ 1 แล้ว กำหนดให้ b=c' เมื่อ c เป็น
จำนวนนับ และ a+b=(a+c)' (ใช้ P3,P4)
ต่อไปเราจะเชื่อมโยง "1" ที่ปรากฏในสัจพจน์ของเปอาโน เข้ากับจำนวน "2" ที่เรารู้จัก
Definition II
1'=2
นั่นคือ 2 คือตัวตามของ 1 นั่นเอง
จากสัจพจน์ของเปอาโนข้อที่ 1 และบทนิยาม II จะได้ว่า 2 เป็นจำนวนนับ
ต่อไปนี้ก็ถึงเวลาที่เราจะพิสูจน์ว่า 1+1=2 (ซะที)
Proposition 1+1=2
Proof
จาก Definition I จะได้ว่า 1+1=1'
จาก Definition II จะได้ว่า 1'=2 ดังนั้น 1+1=2 Q.E.D.
กระทู้ล่าสุด
รูปเด่นน่าดูที่สุดของวันนี้
